商群与理想
考虑集合 \(X\), 那么从 \(X\) 中“商掉”一个子结构 \(A\)(例如子群或理想), 是因为 \(A\) 包含了我们不需要的元素, 因此我们需要“抹掉”这些元素的贡献, 即将 \(A\) 中的元素视为平凡的元素, 然后与 \(A\) 中元素有联系的元素也平凡化.
例如, 设 \(R\) 是一个交换环, 我们希望“抹掉”理想 \(I\) 的贡献, 那我们便可以作如下规则：
- 如果 \(a\in I\) 那么我们把 \(a\) 视作 \(0\), 即 \(\overline{a}=\overline{0},\forall a \in I\).
- 如果一些元素形如 \(xa\), 那么它也被视作 \(0\), 即 \(xI\subset I\), 这也就是所谓的理想的吸收性.
- 如果 \(x-y\in I\) 那么我们认为 \(x\) 与 \(y\) 相等, 即 \(\overline{x-y}=\overline x-\overline y=\overline 0\Rightarrow\overline x=\overline y\).
这个新规则组成的环就叫做 \(R\) 商掉了 \(I\) 所得到的的环, 记作 \(R/I\). 注意, 在 \(R/I\) 中, 由于 \(I\) 的元素都被等价平凡化, 所以我们在这里看不见任何 \(I\) 的贡献. 这也就是说 \(R/I\) 中是由 \(R\) 中两两不相差一个 \(I\) 中的元素组成的环.
e.g. 在多项式环 \(\mathbb C[z]\) 中, 我们只想得到形如 \(a_2z^2+a_1z+a_0\) 这种二次多项式, 因此我们需要“抹掉”更高次的多项式. 而这些多项式可以看作由 \(\left<z^3\right>\) 生成的理想. 当我们要抹掉 \(\left<z^3\right>\) 的贡献, 也就是把所有提出含 \(z^3\) 的项都抹掉时, 剩下的元素就是我们想要的二次多项式, 即为 \(\mathbb C[z]/\left<z^3\right>\).