概念及一阶常微分方程

概念

我们给出 O.D.E 的一般形式：

\[F(t,y,y',\cdots,y^{(m)})=0, t\in I\tag{1.1}\]

其中 \(F\) 为一个已知函数, \(t\) 是自变量, \(y(\cdot)\) 为未知函数, \(I\)为 \(y\) 的定义域.

我们的研究对象为

\[y^{(m)}=f(t,y,\cdots,y^{(m-1)})\tag{1.2}\]

其中称 \(m\) 为 \((1.2)\) 的阶.

解的定义

\((1.2)\) 的解是一个定义在实轴上的区间 \(I\) 的实值函数 \(y=\Phi(t),t\in I\), 它有直至 \(m\) 阶的导数 \(\Phi'(t),\cdots,\Phi^{(m)}\), 它们均在 \(I\) 上有定义且 \(\forall t\in I, \Phi^{(m)}=f(t,\Phi,\cdots,\Phi^{(m-1)})\).

令 \(a_0(\cdot),a_1(\cdot),\cdots,a_n(\cdot),g(\cdot)\) 为 \(I\) 上已知函数, \(y(\cdot)\) 为 \(I\) 上未知函数, 形如

\[a_0(t)y^{(m)}(t)+a_1(t)y^{(m-1)}(t)+\cdots+a_n(t)y(t)=g(t),t\in I\tag{1.3}\]

的方程称为线性常微分方程 (linear O.D.E.), 在 \((1.3)\) 中, \(a_i\) 称为系数, \(g\) 视为外力.

类似地, 当未知函数是一个 \(\mathbb R\rightarrow\mathbb R^n\) 的向量值函数时, 记为 \(\boldsymbol{y}(t)=(y_1(t),\cdots,y_n(t))^\top\). 下列称为常微分方程组

\[\boldsymbol{y}^{(m)}(t)=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y},\cdots,\boldsymbol{y}^{(m-1)}),t\in \mathbb R\]

其中 \(\boldsymbol{f}\) 为一已知函数.

解的集合

我们通常研究下列 \(m\) 元一阶 O.D.E. 组

\[\left\{\begin{matrix}\tag{1.4} \dfrac{\mathrm{d}z_1}{\mathrm{d}t} &= & f_1(t,z_1,\cdots,z_m),\\ \vdots & & \\ \dfrac{\mathrm{d}z_m}{\mathrm{d}t} &= & f_m(t,z_1,\cdots,z_m). \end{matrix}\right.\]

在 \((1.2)\) 中, 令 \(z_1=y,z_2=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\cdots,z_m=\dfrac{\mathrm{d}^{m-1}y}{\mathrm{d}t^{m-1}}\). 则 \((1.2)\) 转化为

\[\left\{\begin{matrix} \dfrac{\mathrm{d}z_1}{\mathrm{d}t} &= & z_2,\\ \vdots & & \\ \dfrac{\mathrm{d}z_{m-1}}{\mathrm{d}t} &= & z_m,\\ \dfrac{\mathrm{d}z_m}{\mathrm{d}t} &= & f(t,z_1,\cdots,z_m). \end{matrix}\right.\]

这说明 \((1.2)\) 可转化为 \((1.4)\), 但 \((1.4)\) 一般不能转化为 \((1.2)\).

我们给出最简单但也最重要的 O.D.E. 为

\[\dfrac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=ax(t),t\in\mathbb R\tag{1.5}\]

其中 \(a\) 为给定实数, \(x(\cdot)\) 为未知函数. 下面我们试着解出这个方程.

我们用 \(e^{-at}\) 乘以 \((1.5)\) 两边得

\[e^{-at}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=e^{-at}ax,t\in\mathbb R\tag{1.6}\]

因为 \(\forall t,e^{-at}\neq 0\), 故 \((1.5)\Leftrightarrow (1.6)\) 即它们同解. 由 \((1.6)\) 得

\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(e^{-at}x(t))=0\Rightarrow e^{-at}x(t)=C\Rightarrow x(t)=Ce^{at},t\in\mathbb R.\]

上面的推导说明：若 \(x(\cdot)\) 满足 \((1.6)\), 则 \(x\) 有上述形式. 反之, 令 \(x(t)=Ce^{at}\) 则 \(x\) 适合 \((1.6)\).

所以 \((1.6)\) 的全体解为 \(\{Ce^{at}:C\in\mathbb R\}\), 称为解集合或解空间. 称 \(Ce^{at}\) 为 \((1.6)\) 的通解.

现在考虑 O.D.E. 组

\[\left\{\begin{matrix}\tag{1.7} x_1'(t) & = & a_1x_1(t)\\ x_2'(t) & = & a_2x_2(t) \end{matrix}\right.\]

这是两个独立的方程构成的方程组, 解为

\[(x_1,x_2)^\top:\mathbb R\rightarrow\mathbb R^2.\]

用求解 \((1.5)\) 的方法可以求得 \((1.7)\) 的解集合为

\[\{(C_1e^{a_1t},C_2e^{a_2t})^\top,t\in\mathbb R:C_1,C_2\in\mathbb R\}.\]

评论