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等价关系与商群

接着, 我们对 \(Gal(L/K)\) 进行研究, 讨论它满足什么条件时对应一个形如上述的根塔. 为此, 我们先进一步了解群的知识.

Def 11

设 \(G\) 是一个群, \(H\subseteq G\) 是子群. \(\forall x,y\in G\), 定义 \(x\sim y \Leftrightarrow x^{-1}y\in H\). 可验证 \(\sim\) 为等价关系. 记 \(\overline{x}=\{y\in G\mid x^{-1}y\in H\}\) \(=\{y\in G\mid x\sim y\}=xH\) 为 \(x\) 所在等价类, 称为 \(x\) 关于 \(H\) 的左陪集, \(x\) 为 左陪集 \(xH\) 的代表元. 类似地, \(x\sim y \Leftrightarrow xy^{-1}\in H\) 也定义了等价关系. \(\overline{y}=\{x\in G\mid xy^{-1}\in H\}=Hy\) 称为 \(y\) 关于 \(H\) 的右陪集, \(y\) 为右陪集 \(Hy\) 的代表元.

Thm 8

设 \(G\) 是一个群, \(H\subseteq G\) 是子群, 则 \(G=\bigcup\limits_{x\in G}xH=\bigcup\limits_{y\in G}Hy\), 且 \(xH,Hy\) 与 \(H\) 之间有双射.

Proof

考虑 \(\varphi: H\rightarrow xH, h\mapsto xh\), 则 \(\varphi\) 既单又满.

Cor 7

设 \(G\) 为有限群, 则 \(|G|=|H|\cdot[G:H]_L=|H|\cdot[G:H]_R\). 其中 \([G:H]_L\) 是 \(H\) 在 \(G\) 中的左陪集个数, \([G:H]_R\) 是 \(H\) 在 \(G\) 中的右陪集个数.

Def 12

\([G:H]=[G:H]_L=[G:H]_R\) 称为 \(H\) 在 \(G\) 中的指数.

Cor 8 [Lagrange 定理]

设 \(H\) 是有限群 \(G\) 的子群, 则 \(|H|\mid |G|\).

Cor 9

设 \(|G|<+\infty\), 则 \(\forall g\in G\), \(g^{ |G| }=e_G\). 特别地, 如果 \(|G|\) 为素数则 \(G\) 为循环群, 即非单位元都是生成元.

Cor 10

设 \(|G|<+\infty\), \(K,H\) 为 \(G\) 的子群且 \(K\subseteq H\subseteq G\), 则 \([G:K]=[G:H]\cdot[H:K]\).

Proof

\(|G|=|K|[G:K]\), \(|G|=|H|[G:H]\), \(|H|=|K|[H:K]\), 因此 \(|H|[G:H]=|K|[G:K]\), \(|K|[H:K][G:H]=|K|[G:K]\), 即 \([G:K]=[G:H][H:K]\).

Def 13 [正规子群]

子群 \(H\subseteq G\) 称为正规子群如果 \(\forall x\in G, xH=Hx\), 即 \(xHx^{-1}=H\). 记为 \(H\lhd G\). 此时左陪集与右陪集统称为 \(H\) 的陪集.

Thm 9

设 \(H\) 为 \(G\) 的子群, 令 \(G/H=\{xH\mid x\in G\}\). 则 \(G/H\times G/H\rightarrow G/H\), \((xH,yH)\mapsto (xy)H\) 是良定的当且仅当 \(H\lhd G\). 若 \(H\lhd G\) 则 \(G/H\) 关于上述运算是群, 称为商群. 记 \(p:G\rightarrow G/H, x\mapsto xH\) 且 \(\ker p=H\).

Proof

\((xH,yH)=(xy)H\) 良定 \(\Leftrightarrow\) \(\forall xH=aH, yH=bH\) 有 \((xy)H=(ab)H\) \(\Leftrightarrow\) \(\forall x^{-1}a\in H, y^{-1}b\in H, (xy)^{-1}ab\in H\) \(\Leftrightarrow\) \(\forall x^{-1}a\in H, y^{-1}b\in H\), 有 \(y^{-1}x^{-1}ab=y^{-1}x^{-1}ayy^{-1}b\in H\) \(\Leftrightarrow\) \(\forall x^{-1}a\in H, y^{-1}b\in H\), 有 \(y^{-1}x^{-1}ay\in H\) \(\Leftrightarrow\) \(\forall x^{-1}a\in H, y^{-1}b\in H\), 有 \(y^{-1}Hy\subseteq H\) \(\Leftrightarrow\) \(H\lhd G\). 其中 \(e_{G/H}=H, (xH)^{-1}=x^{-1}H\).

Def 14 [商同态]

上述 \(p:G\rightarrow G/H\) 称为商映射 (商同态).

Thm 10 [同态基本定理]

设 \(f:G\rightarrow G'\) 为群同态, 则 \(H=\ker f\lhd G\) 且存在唯一单同态 \(\overline{f}:G/\ker f\rightarrow\) 使 \(f=\overline{f}\cdot p\).

Proof

\(\forall x\in G, \forall h\in H\), 有 \(f(h)=e_{G'}, f(xhx^{-1})=e_{G'}\). 即 \(xhx^{-1}\in H\), 所以 \(H\lhd G\).

定义 \(\overline{f}:G/H\rightarrow G', xH=\overline{x}\mapsto f(x)\). 则

  1. \(\overline{f}(x)\) 良定 \(\Leftrightarrow\) \(\forall xH=aH,f(x)=f(a)\). 由 \(xH=aH\), \(a=xh\Rightarrow x^{-1}a=h\) 即 \(e_{G'}=f(h)=f(x^{-1}a)=f(x)^{-1}f(a)\).
  2. \(\forall x\in G\), \(\overline{f}\cdot p(x)=\overline{f}(\overline{x})=f(x)\), 即 \(\overline{f}\cdot p=f\).

Remark

同态 \(f\) 诱导了同构 \(\overline{f}:G/\ker f\rightarrow f(G)\).

Cor 11

设 \(K\lhd G\), \(\overline{G}=G/K\) 为商群则

  1. 若 \(H\subseteq G\) 为子群且 \(K\subseteq H\) 则 \(H/K\) 使 \(G/K\) 的子群.
  2. 若 \(\overline{H}\subseteq\overline{G}=G/K\) 为子群, 则存在唯一 \(H\subseteq G\) 且 \(K\subseteq H\) 使 \(\overline{H}=H/K\).
  3. \(\overline{H}\lhd\overline{G}\Leftrightarrow H\lhd G\).

Proof

  1. 由 \(K\lhd G\), \(K\lhd H\). 由 Thm 9, \(H/K\subseteq G/K\) 为子群.
  2. 设 \(p:G\rightarrow\overline{G}=G/H\) 为商同态. 令 \(H=p^{-1}(\overline{H})=\{x\in G\mid p(x)\in \overline{H}\}\). 则 \(H\) 是 \(G\) 的子群且 \(K\subseteq H,p(H)=\overline{H}\). 存在性得证, 下证唯一性. 设 \(H_1,H_2\) 为 \(G\) 的子群且都包含 \(K\), 使 \(p(H_1)=p(H_2)=\overline{H}\). 下证如果 \(p(H_1)\subseteq p(H_2)\) 那么 \(H_1\subseteq H_2\). 任取 \(h_1\in H_1\). 因为 \(p(H_1)\subseteq p(H_2)\), 那么存在 \(h_2\in H_2\) 使 \(p(h_1)=p(h_2)\). 此时 \(p(h_1h_2^{-1})=e_{G/K}\). 因此 \(h_1h_2^{-1}\in K\subseteq H_2\), 即 \(H_1\subseteq H_2\). 同理, 如果 \(p(H_1)\supseteq p(H_2)\) 那么 \(H_1\supseteq H_2\). 因此 \(H_1=H_2\).
  3. \(H\lhd G\) \(\Leftrightarrow\) \(\forall x\in G, xHx^{-1}\subseteq H\) \(\Leftrightarrow\) \(\forall x\in G, p(xHx^{-1})\subseteq p(H)\) \(\Leftrightarrow\) \(\forall\overline{x}\in\overline{G}, \overline{xHx^{-1}}\subseteq\overline{H}\) \(\Leftrightarrow\) \(\overline{H}\lhd \overline{G}\).

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