群与域扩张

这一节, 我们将逐步建立 \(Gal(L/K)\) 的子群与 \(K\subset E\subset L\) 中间域的对应关系.

Lem 1 [Artin 引理]

设 \(G\subseteq Aut(L)\) 为有限子群, 则 \(L^G=\left\{x\in L\mid \sigma(x)=x,\forall\sigma\in G\right\}\) 是 \(L\) 的一个子域且 \([L:L^G]\leqslant |G|\).

Proof

1. 证明 \(L^G\) 是 \(L\) 的子域.首先 \(0_L\cdot 1_L\in L^G\), 因此 \(L^G\neq\varnothing\). \(\forall a,b\in L^G\), 有 \(\sigma(a)=a,\sigma(b)=b\). 则 \(\forall\sigma\in G\), 有 \(\sigma(a\pm b)=\sigma(a)\pm\sigma(b)=a\pm b\). \(\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)=ab\). \(\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}=a^{-1}\).
2. 记 \(G=\{\eta_1=id,\eta_2,\cdots,\eta_n\}\). 只需证 \(\forall\alpha_1,\cdots,\alpha_m\in L\), \((m>n)\) 在 \(L^G\) 上线性相关. 考虑 \(\begin{pmatrix}\eta_1(\alpha_1) & \cdots &\eta_1(\alpha_m) \\\vdots & \ddots &\vdots\\ \eta_n(\alpha_1) & \cdots &\eta_n(\alpha_m)\end{pmatrix}\)\(\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_m\end{pmatrix}=0\). 由 \(m>n\), 方程组在 \(L\) 上有非零解. 令 \((a_1',\cdots,a_m')\) 是非零分量最少的非零解. 不妨设 \(a_1'\neq 0\). 令 \((a_1')^{-1}\cdot (a_1',\cdots,a_m')\) \(=(a_1=1,\cdots,a_m)\). 则 \((a_1,\cdots,a_m)\) 也是非零分量最少的解. 由 \(\eta_i\) 的同构关系, 要证 \(\forall\alpha_1,\cdots,\alpha_m\in L\), 在 \(L^G\) 上线性相关, 即证 \(\eta_i(\alpha_1),\cdots,\eta_i(\alpha_m)\) 在 \(L^G\) 上线性相关. 即找到一组系数 \((a_1,\cdots,a_m)\in L^G\) 为上述方程的解. 目前已经找到这一组解, 下面我们证明它属于 \(L^G\). 否则, 不妨设 \(a_2\in L^G\ (a_1\neq 0)\). 则存在 \(\eta_k\in G\) 使 \(\eta_k(a_2)\neq a_1\). 注意到 \((x_1,\cdots,x_m)=(\eta_k(a_1),\cdots,\eta_k(a_m))\) 也是一组非零解, 因为 \(\displaystyle\sum\limits_j\eta_i(\alpha_j)\cdot\eta_k(a_j)\) \(=\displaystyle\sum\limits_j\eta_k(\eta_k^{-1}\eta_i(\alpha_j)a_j)\) \(=\eta_k(\displaystyle\sum\limits_j\eta_k^{-1}\eta_i(\alpha_j)a_j)=\eta_k(0)=0\). 此时 \((a_1=1,\cdots,a_m)-(\eta_k(a_1),\cdots,\eta_k(a_m))\) 也是一组解. 它等于 \((0,a_2-\eta_k(a_2)\neq 0,\cdots,a_m-\eta_k(a_m)\neq 0)\). 这也是一组非零解, 但其非零分量个数小于 \((a_1,\cdots,a_m)\). 矛盾.

Thm 6 (重要)

设 \(K\subseteq L\) 是域扩张, 则下述等价:

1. \(L\) 是可分多项式 \(f(x)\in K[x]\) 的分裂域;
2. 存在有限子群 \(G\subseteq Aut(L)\) 使 \(L^G=K\);
3. \(K\subseteq L\) 是 Galois 扩张.

Proof

1 \(\Rightarrow\) 2: 取 \(G=Gal(L/K)\). 由 \(f(x)\) 可分, 有 \(|G|=[L:K]\) (由 Cor 4). 另一方面, \(L\) 也是 \(f(x)\in L^G[x]\) 的分裂域, 因此 \(|Gal(L/L^G)|=[L:L^G]\). 而 \(Gal(L/L^G)=\left\{域同构\varphi:L\rightarrow L\mid\varphi\mid_{L^G}=id\right\}\), \(L^G=\{x\in L\mid\forall\sigma\in G,\sigma(x)=x\}\). 即对于 \(\varphi\in G=Gal(L/K)\), 有 \(\varphi\mid_{L^G}=id\), 与此同时, \(\varphi\mid_K=id\). 因此有 \(Gal(L/K)=Gal(L/L^G)\). 又因为 \([L:K]=[L:L^G]\cdot[L^G:K]\). 又 \([L:K]=[L:L^G]\), 故 \([L^G:K]=1\). 即 \(L^G=K\).

2 \(\Rightarrow\) 3: \([L:K]=[L:L^G]\leqslant |G| < +\infty\) (Lem 1), 故为有限扩张. \(\forall\alpha\in L\), 令 \(\mu_\alpha(x)\in K[x]\) 是 \(\alpha\) 的极小多项式. 考虑 \(\{\sigma(\alpha)\mid\forall\sigma\in G\}=\{\alpha=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}\). 其中 \(\alpha_i\neq\alpha_j,i\neq j\). 由 \(\mu_\alpha(\alpha)=0\), 有 \(\mu_\alpha(\sigma^{-1}\sigma(\alpha))=0\), 即 \(\sigma(\mu_\alpha(\sigma^{-1}\sigma(\alpha)))=\mu_\alpha(\sigma(\alpha))=\sigma(0)=0\). 因此有 \(\mu_\alpha(\sigma(\alpha))=0\), 即 \(\mu_\alpha(\alpha_i)=0\). 因此在 \(L[x]\) 中, \(g(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_m)\mid\mu_\alpha(x)\). 展开, \(g(x)=x^m-\sum\alpha_ix^{m-1}+\cdots+(-1)^m\alpha_1\cdots\alpha_m\) (Vieta 定理). 而 \(\forall\sigma\in G\), \(\sigma(\sum\alpha_i)=\sum\sigma(\alpha_i)\), \(\sigma(\sum\alpha_i\alpha_j)=\sum\sigma(\alpha_i)\sigma(\alpha_j)\cdots\). 因此 \(g(x)\in L^G[x]=K[x]\). 此时 \(\mu_\alpha(x)\mid g(x)\). 所以 \(\mu_\alpha(x)=g(x)\). 从而可分, 正规.

3 \(\Rightarrow\) 1: \(K\subseteq L\) 有限, 即存在 \(\beta_1,\cdots,\beta_s\in L\) 使 \(L=K[\beta_1,\cdots,\beta_s]\). 令 \(f(x)=\mu_{\beta_1}(x)\cdots\mu_{\beta_s}(x)\) 则 \(f(x)\) 可分, \(L\) 是可分多项式 \(f(x)\) 的分裂域.

Remark

2 \(\Rightarrow\) 3 中, \(\sigma(\sum\alpha_i)=\sum\alpha_i\), \(\sigma(\sum\alpha_i\alpha_j)=\sum\alpha_i\alpha_j\cdots\). 其保持不变的原因是由 Cor 5 与对称多项式共同作用的. 由于 \(\alpha_i\) 是 \(\mu_\alpha(x)\) 的根, 由 Cor 5, \(\sigma(\alpha_i)=\alpha_j\). 而又由对称多项式的性质, 原值不变.

Thm 7 [Galois 对应] (重要)

\(K\subseteq L\) 是 Galois 扩张. \(G=Gal(L/K)\). 设 \(\Gamma=\{H\subseteq G\mid H 是子群\}\). \(\Sigma=\{E\mid K\subseteq E\subseteq L 是中间域\}\). 则 \(\phi:\Gamma\rightarrow\Sigma\), \(H\mapsto L^H\). \(\psi:\Sigma\rightarrow\Gamma\), \(E\mapsto Gal(L/E)\) 是双射且 \(\phi,\psi\) 互为逆映射.

Proof

只需证明 \(\phi\cdot\psi=id_\Sigma,\psi\cdot\phi=id_\Gamma\), 即证 \(H=Gal(L/L^H)\), \(L^{Gal(L/E)}=E\).

由 \(L^H=\{x\in L\mid\forall\sigma\in H,\sigma(x)=x\}\), \(Gal(L/L^H)=\{域同构\varphi:L\rightarrow L\mid\varphi\mid_{L^H}=id\}\). 则 \(\forall\sigma\in H\), \(\sigma\in Gal(L/L^H)\). 因此 \(H\subseteq Gal(L/L^H)\). 因为 \(K\subseteq L\) 是 Galois 扩张, 因此 \(L\) 是某个可分多项式 \(f(x)\in K[x]\) 的分裂域, 即 \(L\) 是可分多项式 \(f(x)\in L^H[x]\) 的分裂域. 由 Cor 4, \(|Gal(L/L^H)|=[L:L^H]\). 由上述 \(H\subseteq Gal(L/L^H)\), 有 \(|H|\leqslant|Gal(L/L^H)|=[L:L^H]\leqslant |H|\) (Lem 1). 因此 \(|H|=|Gal(L/L^H)|\), 进而 \(H=Gal(L/L^H)\).

下证 \(L^{Gal(L/E)}=E\). 令 \(H=Gal(L/E)\) 则 \(K\subseteq E\subseteq L^H\subseteq L\), \(Gal(L/L^H)=H\). 类似地, \(E\subseteq L,L^H\subseteq L\) 都是 Galois 扩张. 因此 \(|Gal(L/E)|=|H|=[L:E]\), \(|Gal(L/L^H)|=|H|=[L:L^H]\). 因此 \([L:E]=[L:L^H]\), 而 \([L:E]=[L:L^H]\cdot[L^H:E]\). 所以 \([L^H:E]=1\) 即 \(L^H=E\).

Remark

对于 \(\phi\cdot\psi\), 有 \(E\mapsto Gal(L/E)\mapsto L^{Gal(L/E)}\). 为了证明它是 \(id_\Sigma\), 我们需要证明 \(L^{Gal(L/E)}=E\). 记 \(H=Gal(L/E)\). 根据第一部分证明, 我们有 \(H=Gal(L/L^H)\), 且由其是 Galois 扩张, 因此 \(|H|=|Gal(L/E)|=[L:E]\),\(|H|=|Gal(L/L^H)|=[L:L^H]\). 因此 \([L^H:E]=1\) 即 \(L^H=E\).

在这个过程中, 我们用到了一个事实: 若 \(f(x)\in K[x], K\subseteq L\) 是 Galois 扩张, 那么对于 \(K\subseteq E\subseteq L, f(x)\in E[x]\), \(E\subseteq L\) 也是 Galois 扩张.

Cor 6 [本原元素定理]

设 \(K\subseteq L\) 是有限, 可分扩张, \(|K|=+\infty\). 则存在 \(\alpha\in L\) 使 \(L=K[\alpha]\).

Proof

\(K\subseteq L\) 是有限扩张, 即存在 \(\beta_1,\cdots,\beta_s\in L\) 使 \(L=K[\beta_1,\cdots,\beta_s]\). \(K\subseteq L\) 可分, 因此 \(\mu_{\beta_i}(x)\in K[x]\) 可分. 令 \(f(x)=\mu_{\beta_1}(x)\cdots\mu_{\beta_s}(x)\in K[x]\). 设 \(\overline{L}\) 是可分多项式 \(f(x)\in K[x]\) 的分裂域, 则 \(K\subseteq L\) 是 Galois 扩张. 由 Thm 7, \(K\subseteq\overline{L}\) 的中间域只有有限个. 因此 \(K\subseteq L\) 的中间域也只有有限个. 下面对 \(s\) 进行归纳.

\(s=1\) 时, 成立.

\(s=2\) 时, 即 \(L=K[\beta_1,\beta_2]\). 考虑 \(L_a=K[\beta_1+a\beta_2], a\in K\). 则对于 \(\forall a\in K\), 有 \(K\subseteq L_a\subseteq L\). 由 \(|K|=+\infty\), 存在 \(a_1\neq a_2\) 使 \(K[\beta_1+a_1\beta_2]=K[\beta_1+a_2\beta_2]\), 即 \(L_{a_1}=L_{a_2}\). 记 \(\alpha=\beta_1+a_1\beta_2\) 则 \(\beta_1+a_1\beta_2\in K[\alpha]\), \(\beta_1+a_2\beta_2\in K[\alpha]\). 因此 \(\beta_1,\beta_2\in K[\alpha]\), 即 \(K[\alpha]=K[\beta_1,\beta_2]\).

\(s\geqslant 3\) 时, 由归纳, 存在 \(\alpha\in L\) 使 \(K[\beta_1,\cdots,\beta_{s-1}]=K[\alpha]\). 此时 \(K[\beta_1,\cdots,\beta_s]=K[\alpha,\beta_2]\). 由 \(s=2\) 的情形, 存在 \(\widetilde{\alpha}\in L\) 使 \(K[\alpha,\beta_2]=K[\widetilde{\alpha}]\).

Def 10 [方程可解]

设 \(f(x)\in K[x]\) 是 \(n\) 次多项式. \(L=K[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]\) 是其分裂域. 如果存在域扩张塔 \(K=K_1\subseteq\cdots\subseteq K_r=L\) 使 \(K_{i+1}=K_i[\beta_i]\), 其中 \(\beta_i\) 在 \(K_i\) 上的极小多项式 \(\mu_{\beta_i}(x)\) 形如 \(x^{n_i}-b_i\in K_i[x]\) 则称 \(f(x)\) 可解. 上述域扩张塔称为根塔. 由 Thm 7, 其对应一个子群链 \(G=Gal(L/K)\supseteq\cdots\supseteq Gal(L/K_r)=\{e\}\).

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