方程与扩域
下面, 我们以域扩张的定义入手来推导它.
Def 1 [域扩张]
\(K\) 是一个域, \(K\) 是 \(L\) 的子域, 则称 \(K\subset L\) 是一个域扩张.
Def 2
设 \(K\subset L\) 是一个域扩张, 则 \(L\) 是一个 \(K\)- 线性空间. \([L:K]:= \dim_K L\) 为扩张次数.
Def 3 [代数扩张]
设 \(K\subset L\) 是域扩张. 若对于 \(\alpha\in L\), 存在 \(f(x)\in K[x]\) 使 \(f(\alpha)=0\), 则称 \(\alpha\in L\) 为 \(K\) 上的代数元. 若 \(\forall\alpha\in L\), \(\alpha\) 为代数元, 则 \(K\subset L\) 为代数扩张.
Def 4 [有限扩张]
若 \([L:K]<+\infty\) 则称 \(K\subset L\) 为有限扩张, 否则为无限扩张.
Thm 1
设 \(F\subseteq K\subseteq L\) 为域扩张. 若 \(F\subseteq K\), \(K\subseteq L\) 均为有限扩张, 那么 \(F\subseteq L\) 也是有限扩张且 \([L:F]=[L:K]\cdot[K:F]\).
Proof
设 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_m\in K\) 是 \(F\) 上的一组基, \(\beta_1,\cdots,\beta_n\in L\) 是 \(K\) 上的一组基. \(\forall x\in L\), \(\exists\lambda_j\in K\) 使 \(x=\displaystyle\sum\lambda_j\beta_j\). 而对于任意 \(\lambda_j\in K\), 存在 \(a_{ij}\in F\) 使 \(\lambda_j=\displaystyle\sum a_{ij}\alpha_i\). 带入 \(x\), 有 \(x=\displaystyle\sum\displaystyle\sum a_{ij}\alpha_i\beta_j\). 即 \(x\) 可由 \(\alpha_i\beta_j\) 在 \(F\) 上线性表出. 因此 \(\dim_F L\leqslant m\cdot n\). 下证 \(\alpha_i\beta_j\) 在 \(F\) 上线性无关. 设 \(h_{ij}\in F\) 使 \(\displaystyle\sum\displaystyle\sum h_{ij}\alpha_i\beta_j=\displaystyle\sum\displaystyle\sum (h_{ij}\alpha_i)\beta_j=0\). 又由 \(\beta_j\) 在 \(K\) 上线性无关, 因此 \(\displaystyle\sum h_{ij}\alpha_i=0\). 又因为 \(\alpha_i\) 在 \(F\) 上线性无关, \(h_{ij}=0\). 因此 \(\alpha_i\beta_j\) 是 \(L\) 的一组基. 因此 \(\dim_F L= m\cdot n\).
Def 5 [极小多项式]
设 \(K\subseteq L\), \(\alpha\in L\) 是 \(K\) 上的代数元.令 \(\mu_\alpha(x)\) 是 \(\left\{f(x)\in K[x]\mid f(\alpha)=0\right\}\) 中次数最小, 首一的多项式. 则称 \(\mu_\alpha(x)\) 是 \(\alpha\) 在 \(K\) 上的极小多项式.
Thm 2
设 \(\alpha\) 是 \(K\) 上的代数元. \(\mu_\alpha(x)\in K[x]\) 是 \(\alpha\) 的极小多项式, 则
- \(\mu_\alpha(x)\) 不可约;
- 对任意 \(f(x)\in K[x]\), 如果 \(f(\alpha)=0\) 则 \(\mu_\alpha(x)\mid f(x)\);
- \([K[\alpha]:K]=\deg \mu_\alpha(x)\).
Proof
- 设 \(\mu_\alpha(x)\) 在 \(K[x]\) 中可约. 不妨设 \(\mu_\alpha(x)=f_1(x)f_2(x)\). 其中 \(\deg f_i(x)<\mu_\alpha(x)\). 则 \(\mu_\alpha(\alpha)=f_1(\alpha)f_2(\alpha)=0\). 又由 \(L\) 是整环, \(f_1(\alpha)=0\) 或 \(f_2(\alpha)=0\), 与 \(\mu_\alpha(x)\) 次数最小矛盾.
- 设 \(f(x)=\mu_\alpha(x)g(x)+r(x)\), 则 \(r(x)\equiv 0\) 或 \(\deg r < \deg\mu_\alpha\). 由 \(f(\alpha)=\mu_\alpha(\alpha)g(\alpha)+r(\alpha)=0\), \(r(\alpha)\equiv 0\). 因此 \(\mu_\alpha(x)\mid f(x)\).
- 考虑取值映射 \(\psi_\alpha:K[x]\rightarrow K[\alpha]\), \(f(x)\mapsto f(\alpha)\). 则 \(\psi_\alpha\) 是环同态. 因此 \(\ker\psi_\alpha=\left\{f(x)\in K[x]\mid f(\alpha)=0\right\}=(\mu_\alpha(x))\) (即由 \(\mu_\alpha(x)\) 生成的理想). 由环同态基本定理, \(K[x]/(\mu_\alpha(x))\cong K[\alpha]\). 注意到 \(1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}\) 是 \(K[\alpha]\) 的一组基, 否则这与 \(\mu_\alpha(x)\) 次数最小性矛盾.
Cor 1
设 \(K\subseteq L\) 是域扩张, \(\alpha,\beta\in L\) 是 \(K\) 上的代数元, 则 \(\alpha\pm\beta,\alpha\beta,\alpha\beta^{-1}\) 也是 \(K\) 上的代数元. 特别地, \(\left\{\alpha\in L\mid \alpha 是 K 上的代数元\right\}\) 是一个域.
Def 6 [分裂域]
设 \(K\) 是一个域. \(f(x)\in K[x]\) 非零首一. \(L\supseteq K\) 是扩域. \(L\) 称 \(f(x)\) 的分裂域,如果
- 存在 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_m\in L\) 使 \(f(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_m)\);
- \(L=K[\alpha_1,\cdots,\alpha_m]\).
Thm 3
设 \(K\) 是一个域, \(f(x)\in K[x]\) 非零首一, 则存在 \(f(x)\) 的分裂域 \(L\supseteq K\).
Proof
对 \(n=\deg f(x)\) 进行归纳. \(n=1\) 时, \(f(x)=x+a_0\), 取 \(L=K\) 即可.
设 \(\deg f < n\) 成立, 即对于任意域 \(K\), \(f(x)\in K[x], \deg f\leqslant n-1\) 都存在 \(f(x)\) 的分裂域 \(L\). 考虑 \(f(x)\in K[x], \deg f= n\). 由 \(K[x]\) 是 PID, \(K[x]\) 是 UFD. 因此 \(f(x)=f_1^{m_1}(x)\cdots f_k^{m_k}(x)\). 若 \(\deg f_i=1\), 取 \(K=L\) 即可. 否则不妨设 \(\deg f_1\geqslant 2\) 不可约. 令 \(K'=K[x]/(f_1(x))\), 则 \(K'\) 是一个域, 且对于任意 \(\overline{x}\in K'\), 取 \(\alpha\) 是 \(\overline{x}\) 的代表元, 有 \(f_2(\alpha)\cdots f_k(\alpha)\neq 0\). 若 \(f_1(\alpha)=0\), 则 \(f(\alpha)=0\). 因此, 在 \(K'[x]\) 中, \(f(x)=(x-\alpha)g(x)\) ,\(g(x)\in K'[x]\) 且 \(\deg g=n-1\). 由归纳假设, 存在 \(L\supseteq K'\) 使 \(L\) 是 \(g(x)\) 的分裂域. 即 \(g(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_{n-1})\in L[x]\). 故 \(L=K'[\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1}]=K[\alpha,\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1}]\), \(f(x)=(x-\alpha)(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_{n-1})\in L[x]\). 即 \(L\) 是 \(f(x)\) 的分裂域.
Thm 4 (重要)
设 \(\eta:K\rightarrow\overline{K}\) 是域同构. 任意 \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_x+a_0\in K[x]\), 令 \(\overline{f}(x)=\overline{a_n}x^n+\cdots+\overline{a_1}x+\overline{a_0}\in\overline{K}[x]\). \(\overline{a_i}=\eta(a_i)\). 记 \(L,\overline{L}\) 分别为 \(f(x),\overline{f}(x)\) 的分裂域. 令 \(G_{\eta,K}=\left\{域同构 \varphi:L\rightarrow\overline{L}\mid\varphi\mid_K=\eta\right\}\). 则 \(|G_{\eta,K}|\leqslant [L:K]\) 且等号成立当且仅当 \(\overline{f}(x)\) 在 \(\overline{L}\) 中无重根.
Proof
对 \([L:K]\) 进行归纳.
\([L:K]=1\) 时, \(L=K\), 因此 \(f(x)\) 在 \(K[x]\) 中是一次因子的乘积. \(\overline{f}(x)\) 在 \(\overline{K}[x]\) 中也是一次因子乘积. 因此 \(\overline{L}=\overline{K}\), 故 \(G_{\eta,K}=\{\eta\}\). 因此 \(|G_{\eta,K}|=1\leqslant [L:K]=1\).
\([L:K]>1\) 时, 设小于 \([L:K]\) 的情形成立. 此时 \(f(x)\) 至少有一个不可约因子 \(f_1(x)\in K[x]\) 且 \(\deg f_1\geqslant 2\). 取 \(\alpha_1\in L\) 使 \(f_1(\alpha_1)=0\). 记 \(\mu_{\alpha_1}(x)\in K[x]\) 是 \(\alpha_1\) 的极小多项式. 令 \(L_1=K[x]/(\mu_{\alpha_1}(x))=K[\alpha_1]\) (由 Thm 2 3. 的证明过程. 事实上,这里把同构的域看作同一个域, 这是无关紧要的). 则 \([L_1:K]=\deg \mu_{\alpha_1}\geqslant 2\). 令 \(H_\eta(L,\overline{L})=\left\{单同态\phi:L_1\rightarrow\overline{L}\mid\phi\mid_K=\eta\right\}\).
我们断言 \(H_\eta(L,\overline{L})=\{\eta_1,\cdots,\eta_m\}\), 其中 \(m\) 是 \(\overline{\mu_{\alpha_1}}(x)\) 在 \(\overline{L}\) 中不同根的个数.
倘若断言成立, 则 \(|H_\eta|\leqslant\deg \mu_{\alpha_1}=[L_1:K]\) 且等号成立当且仅当 \(\overline{\mu_{\alpha_1}}(x)\) 在 \(\overline{L}\) 中无重根. 由 \([L_1:K]\geqslant 2\) 得 \([L:L_1]<[L:K]\). 令 \(\overline{L_1}=\eta_i(L_1)\) 则 \(f(x)\in L_1[x]\), \(\overline{f}(x)\in\overline{L_1}[x]\). 则 \(L,\overline{L}\) 可看成 \(f(x)\in L_1[x],\overline{f}(x)\in\overline{L_1}[x]\) 的分裂域. 又归纳假设 \(|G_{\eta,L_1}|\leqslant [L:L_1]\) 且等号成立当且仅当 \(\overline{f_1}(x)\) 在 \(\overline{L}\) 中无重根.
最后证明断言: \(\forall \phi\in H_\eta\), \(\phi(\alpha_1)\) 是 \(\overline{\mu_{\alpha_1}}(x)\) 的根且 \(\phi\) 由 \(\phi(\alpha_1)\) 唯一确定.
记 \(\mu_{\alpha_1}(x)=b_kx^k+\cdots+b_1x+b_0\). 则 \(0=b_k\alpha_1^k+\cdots+b_1\alpha_1+b_0\in L_1\). 因此 \(0=\phi(b_k\alpha_1^k+\cdots+b_1\alpha_1+b_0)\) \(=\overline{b_k}\phi(\alpha_1)^k+\cdots+\overline{b_1}\phi(\alpha_1)+\overline{b_0}\). 因此 \(\phi(\alpha_1)\) 是 \(\overline{\mu_{\alpha_1}}(x)\) 的根. 因此 \(|H_\eta(L,\overline{L})|\leqslant m\). 故只需证明若 \(\beta\in\overline{L}\) 是 \(\overline{\mu_{\alpha_1}}(x)\) 的根, 则存在单同态 \(\phi:L_1\rightarrow\overline{L},\alpha_1\mapsto\beta\).
考虑取值映射 \(\psi_{\alpha_1}: K[x]\rightarrow L, h(x)\mapsto h(\alpha_1)\) 是满同态. 则有 \(K[x]/\ker\psi_{\alpha_1}\cong L_1\). 又因为 \(\ker\psi_{\alpha_1}=(\mu_{\alpha_1}(x))\), 故 \(K[x]/(\mu_{\alpha_1}(x))\xrightarrow[\sim]{\overline{\psi_{\alpha_1}}}L_1\). 考虑 \(\eta_\beta :K[x]\rightarrow \overline{L},h(x)\mapsto\overline{h}(\beta)\). 由 \(K[x]\) 是 PID, \(\ker \eta_\beta=(h_0(x))\). 另一方面, 由 \(\eta_\beta(\mu_{\alpha_1}(x))=0\) 有 \(\mu_{\alpha_1}(x)\in\ker\eta_\beta\). 故 \(h_0(x)\mid \mu_{\alpha_1}(x)\). 故 \(h_0(x)\sim\mu_{\alpha_1}(x)\). 因此 \(\overline{\eta_\beta}:K[x]/(\mu_{\alpha_1}(x))\rightarrow\overline{L}\) 是单射. 令 \(\phi=\overline{\eta_\beta}\cdot\overline{\eta_\alpha}^{\ -1}:L_1\rightarrow\overline{L}\) 是单同态且满足条件.
Remark 1
对于 \([L:K]>1\), 我们先找到使归纳假设成立的情况, 即 "温柔地" 向 \(K\) 中添加一个元 \(\alpha_1\), 使其成为 \(L_1=K[\alpha_1]\). 进而构造出了类似题中 \(G_{\eta,K}\) 的 \(H_\eta\). 对于 \(H_\eta\), 设其满足题中要求, 即若 \(\overline{\mu_{\alpha_1}}(x)\) 在 \(\overline{L}\) 中不同根个数为 \(m\), 则 \([L_1=K[\alpha_1]:K]=\deg \mu_{\alpha_1}\leqslant m\). 为此, 令 \(|H_\eta|=m\), 即令 \(H_\eta=\{\eta_1,\cdots,\eta_m\}\) 即可完成证明.
那么我们只需证明 \(H_\eta\) 满足形如 \(\{\eta_1,\cdots,\eta_m\}\) 的形式即可, 即只需证明若 \(\beta\in\overline{L}\) 是 \(\overline{\mu_{\alpha_1}}(x)\) 的根, 则存在单同态 \(\phi:L_1\rightarrow\overline{L},\alpha_1\mapsto\beta\).
Remark 2
事实上, 可以通俗地把 \(|G_{\eta,K}|\) 看成不同根的个数, \([L:K]\) 看成多项式的次数. 这样题中 \(|G_{\eta,K}|\leqslant [L:K]\) 且等号成立当且仅当 \(\overline{f}(x)\) 在 \(\overline{L}\) 中无重根这一结果就很自然.
Remark 3
注意, \(|G_{\eta,K}|\) 总是 \(>0\) 的, 这也就意味着无论什么情况, 只要满足题中条件, 我们总能找到域同构 \(\varphi:L\rightarrow\overline{L}\) 使得 \(\varphi\mid_K=\eta\).
Cor 2 (重要)
设 \(L\) 是 \(f(x)\in K[x]\) 的一个分裂域. 令 \(G=Gal(L/K)=\left\{域同构\varphi:L\rightarrow L\mid\varphi\mid_K=id\right\}\) 则 \(|G|\leqslant [L:K]\), 且等号成立当且仅当 \(f(x)\) 在 \(L\) 无重根.
Proof
在 Thm 4 中令 \(K=\overline{K},\eta=id\) 即可.
Thm 5
\(L\) 是 \(f(x)\in K[x]\) 的分裂域, 则 \(f(x)\) 在 \(L\) 上无重根 \(\iff\) \((f(x),f'(x))=1\).
Proof
\(\Leftarrow:\) 则 \(f(x)\) 与 \(f'(x)\) 在 \(L\) 中无公共根. 因此无重根. 否则如果 \(\alpha\in L\) 是 \(f(x)\) 的 \(k\) 重根, \(k>1\), 则 \(f(x)=(x-\alpha)^kf_1(x)\), \(f'(x)=k(x-\alpha)^{k-1}f_1(x)+(x-\alpha)^kf'_1(x)\). 从而 \(\alpha\) 是 \(f(x)\) 与 \(f'(x)\) 的公共根, 矛盾.
\(\Rightarrow:\) 设 \(f(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)\), 其中 \(\alpha_i\neq\alpha_j\). 则 \(f'(x)=\displaystyle\sum\dfrac{f(x)}{x-\alpha_i}\), 此时 \((x-\alpha_i)\nmid f'(x)\). 因此 \((f(x),f'(x))=1\).
Cor 3
不可约多项式 \(f(x)\) 在 \(L\) 上有重根 \(\iff\) \(f'(x)=0\).
Proof
\(f(x)\) 有重根 \(\iff\) \((f(x),f'(x))\neq 1\) \(\iff\) \(f(x)\mid f'(x)\) \(\Rightarrow\) \(f'(x)=0\).
Def 7 [可分]
- \(f(x)\) 称为可分多项式如果它的每个不可约因子都无重根, 即导数非零.
- \(\alpha\) 称为 \(K\) 上的可分元如果 \(\mu_\alpha(x)\) 是可分多项式.
- \(K\subset L\) 称为可分扩张如果 \(L\) 中每个元素都是可分元.
Cor 4 (重要)
设 \(L\) 是 \(f(x)\in K[x]\) 的分裂域. 如果 \(K\subseteq L\) 是可分扩张则 \(|Gal(L/K)|=[L:K]\).
Proof
只需证 \(f(x)\) 在 \(L\) 上无重根 (由 Cor 2). 在 \(K[x]\) 中, \(f(x)=f_1(x)\cdots f_s(x)\) 为不可约分解, 其中 \(f_i(x)\in K[x]\) 不可约. 又 \(L\) 是 \(f(x)\) 的分裂域, 因此存在 \(\alpha_i\in L\) 使 \(f_i(\alpha_i)=0\). 因此 \(\mu_{\alpha_i}(x)\sim f_i(x)\). 又因为 \(K\subseteq L\) 是可分扩张, 因此 \(\alpha_i\) 为可分元, 因此 \(f_i(x)\) 为可分多项式, 即 \(f_i(x)\) 无重根. 因此 \(f(x)\) 无重根.
Cor 5 (重要)
设 \(L\) 是可分多项式 \(f(x)\in K[x]\) 的分裂域. \(\forall \alpha\in L\), 令 \(\mu_\alpha(x)\) 是 \(\alpha\) 的极小多项式.则对 \(\mu_\alpha(x)\) 的任意两个根 \(\alpha_1,\alpha_2\in L\), \(\exists\varphi\in Gal(L/K)\) 使 \(\varphi(\alpha_1)=\alpha_2\).
Proof
\(\mu_\alpha(x)\in K[x]\) 是不可约多项式. 考虑取值映射 \(\psi_{\alpha_i}:K[x]\rightarrow K[\alpha_i], h(x)\mapsto h(\alpha_i)\), 其中 \(i=1,2\). 则 \(\ker\psi_{\alpha_i}=(\mu_{\alpha_i}(x))\), \(K[x]/(\mu_{\alpha_i}(x))\cong K[\alpha_i]\). 令 \(\eta=\psi_{\alpha_2}\cdot\psi_{\alpha_1}^{-1}:K[\alpha_1]\rightarrow K[\alpha_2]\) 且 \(\eta\mid_K=id\). 由 \(f(x)\in K[x]\subseteq K[\alpha_i][x]\), \(L\) 是 \(f(x)\in K[\alpha_i][x]\) 的分裂域. 故存在同构 \(\varphi:L\rightarrow L\) 使 \(\varphi\mid_{K[\alpha_1]}=\eta\) (由 Thm 4 Remark 3). 此时 \(\varphi(\alpha_1)=\alpha_2\) 且 \(\varphi\mid_K=id\).
Remark
先通过取值映射找到 \(\eta\) 使 \(\eta(\alpha_1)=\alpha_2\), 再将其延拓成 \(L\rightarrow L\) 的域同构.
Def 8 [正规扩张]
代数扩张 \(K\subset L\) 称为正规扩张如果 \(L\) 的每个元素的极小多项式的根都在 \(L\) 中.
Def 9 [Galois 扩张]
\(K\subseteq L\) 是有限, 可分, 正规扩张, 则称其为 Galois 扩张.