理论概述
考虑 \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0,a_n\neq0\) 无重根. 设 \(F=\mathbb Q[a_n,\cdots,a_0]\) 为 \(f(x)\) 的系数域. 再设 \(f(x)\) 根为 \(\alpha_1.\cdots,\alpha_n\) 且 \(\alpha_i\neq\alpha_j\). 取 \(E=F[\alpha_1.\cdots,\alpha_n]\) 则 \(E\) 为 \(F\) 的分裂域, 即包含 \(f(x)\) 所有根的最小域.
e.g.
\(f(x)=x^2-2\), 则 \(\mathbb Q[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb Q\}\) 为 \(f(x)\) 的分裂域.
其中形如 \(F[u]\) 的记法表示在域 \(F\) 中添加 \(u\) 使其称为域. 更通俗地, 我们仍以上述为例, 我们向 \(\mathbb Q\) 中添加 \(\sqrt 2\) 后得到了 \(\mathbb Q\cup\{\sqrt 2\}\), 但它不是域. 为了让其对加减乘除封闭, 我们只好进行更一般的构造, 进而得到了形如 \(a+b\sqrt{2}\) 这样的元素使其对四则运算封闭. 因此将 \(\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb Q\}\) 定义为 \(\mathbb Q[\sqrt{2}]\), 表示向 \(\mathbb Q\) 中添加 \(\sqrt 2\) 形成的域. 我们把这个过程叫做域扩张.
为什么求解上述方程时会进行域扩张? 因为其根不在系数域内.
对于一般的二次方程 \(ax^2+bx+c=0\), 由 Vieta 定理 \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},x_1x_2=\dfrac{c}{a}\). 其关于根的对称多项式构成了一个二元方程组, 但是为了解出 \(x_1,x_2\), 我们需要构造出 \(x_1-x_2\) 的形式才能进行下一步求解. 但是 \(x_1-x_2\) 非对称, 而 \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\) 对称, 即 \(x_1-x_2=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\), 出现了根式! 这极大可能 \(\sqrt{b^2-4ac}\notin\mathbb Q\). 因此只有在 \(\mathbb Q[\sqrt{b^2-4ac}]\) 中我们才能找到 \(ax^2+bx+c=0\) 的根. 这蕴含着扩域的思想.
下面我们考虑根的置换. 其原因类似上例, 要通过构造对称的 \((x_1-x_2)^2\) 进而找到不对称的 \(x_1-x_2\), 进而破坏 Vieta 定理的对称性来求得 \(x_1,x_2\).
考虑 \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\in K[x]\), 设其根为 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\), 则其分裂域为 \(L=K[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]\). 若存在映射 \(\sigma\) 使 \(\sigma(f(x))=0\) 的根仍为 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\), 易于验证 \(\sigma\) 是 \(L\rightarrow L\) 的域同构. 又 \(f(x)\in K[x]\) 且又由 Vieta 定理 \(\sigma(a_i)=a_i\), 故 \(\sigma\mid_K=id\).
将所有这样的 \(\sigma\) 找出, 定义集合 \(G=Gal(L/K)=\{域同构\sigma:L\rightarrow L\ :\ \sigma\mid_K=id\}\). 事实上, \(Gal(L/K)\) 对映射的复合构成群, 称为 Galois 群. 此时 \(Gal(L/K)\cong S_n\).
下面考虑 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0\in K[x]\). 由 Vieta 定理, \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3=-\dfrac b a\\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac c a\\ x_1x_2x_3=-\dfrac d a \end{matrix}\right.\). 其中 \(x_1+x_2+x_3\) 的置换群为 \(S_3\).
为了解这个方程组, 我们不妨首先找到 \(x_1+x_2-x_3\) 来破坏其对称性. 那么是否存在一个域使 \(x_1+x_2-x_3\) 在其中有意义?答案是有, 为 \(K[\sqrt{B},\sqrt[3]{A+\sqrt B}]\), 其中 \(A=\dfrac{27}{2}\cdot\dfrac{b^2-3ac}{3a^2}\), \(B=\left(\dfrac{27}{2}\cdot\dfrac{3b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}\right)^2+27\left(\dfrac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}\right)^3\).
现在联立 \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3\\ x_1+x_2-x_3 \end{matrix}\right.\), 两式相加得到 \(2x_1+2x_2\). 因此使其不变的置换为 \(\left\{id,\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \right\}\subset S_3\). 同理, 再增加不对称多项式 \(x_1-x_2+x_3\) 与上述联立, 此时不变的置换只有 \(\{id\}\).
因此得到 \(\left\{ id\right\}\subset\left\{id,\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\right\}\subset S_3\). 这便是我们逐步破坏对称性得到的子群列. 同时, 为了使各个不对称多项式有意义, 我们构造出了扩域列 \(K_2\supseteq K_1\supseteq K\). 又因为 \(Gal(L/K)\cong S_n\), 因此形式化地得到 \(Gal(L/K_2)\subseteq Gal(L/K_1)\subseteq Gal(L/K)\) 这个子群列.
由上述推导, 三次方程可用开方的方式求解 \(\iff\) \(Gal(L/K_2)=\{id\}\).
推广到 \(n\) 次的形式. 设 \(f(x)=a_nx^n_\cdots+a_1x+a_0\in K_1[x]\). 则其可根式求解 \(\iff\) \(Gal(L/K_n)=\{id\}\). 这便是 Galois 理论核心的一部分.
下面给出方程可用根式求解的严谨定义.
Def
设 \(f(x)\in K[x]\) 是 \(n\) 次多项式, \(L=K[z_1,\cdots,z_n]\) 是其分裂域. 若存在域扩张塔 \(K=K_1\subset\cdots\subset K_{r+1}=L\) 使 \(K_{i+1}=K_i[\alpha_i]\), 其中 \(\alpha_i\) 的极小多项式 \(\mu_{\alpha_i}(x)=x^{n_i}-a_i\in K_i[x]\) (即所谓的单扩张). 则称 \(f(x)\) 在 \(K\) 上可解. 上述的域扩张塔称为 \(L\) 在 \(K\) 上的一个根塔.
这样的定义并不突兀. 首先对于 \(K_1\subset K_2\), 即在 \(K_1\) 中找到一个元素 \(a_1\) 并将其开 \(n_1\) 次方得到 \(\alpha_1=\sqrt[n_1]{a_1}\), 然后使 \(K_2=K_1[\sqrt[n_1]{a_1}]\). 以此类推下去. 这就是为何 \(\mu_{\alpha_i}(x)=x^{n_i}-a_i\) 的原因.
与此同时, 注意到每次域的扩张都伴随着 \(Gal(L/K_i)\) 的 "缩小".
不妨大胆猜测, 根塔 \(K=K_1\subset\cdots\subset K_{r+1}=L\) 与子群链 \(Gal(L/K)=G_1\supset\cdots\supset G_{r+1}=\{id\}\) 存在一个一一对应的关系. 因此要研究是否存在这样的根塔, 只需研究其子群链即可.
下面提出问题, 由其一一对应关系, 当 \(Gal(L/K)\) 及其子群满足什么关系时, 会出现形如上述的根塔, 即 \(Gal(L/K)\) 及其子群满足什么条件时, 方程可根式求解?
我们给出群可解的定义.
Def
设 \(G\) 是有限群, 考虑正规列 \(\{1\}=G_{s+1}\lhd\cdots\lhd G_1=G\) 使得 \(G_i/G_{i+1}\) 为交换群.
Galois 证明了这样的正规子群列与正规域扩张有一一对应的关系. 因此, 我们得到了 \(f(x)\) 可解 \(\iff\) \(f(x)\) 的 Galois 群 \(G_f\) 可解. 即把方程可根式解的问题等价为群是否可解.