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唯一分解整环

可唯一分解必为整环, 整环不一定可以唯一分解.

Def 1

设 \(R\) 是整环, \(a,b\in R\), 如果存在 \(c\in R\ \mathrm{s.t.}\ b=ac\) 则称 \(a\) 为 \(b\) 的一个因子或 \(a\) 整除 \(b\), 记为 \(a\mid b\). 非零元 \(p\in R\) 称为不可约元如果

  • \(p\notin U(R)\),
  • 不存在非可逆元 \(a,b\in R\) 使得 \(p=ab\).

Pro

  • \(a\mid 1_R\Leftrightarrow a\in U(R)\),
  • \(a\mid b,b\mid c\Rightarrow a\mid c\),
  • \(a\mid b,a\mid c\Rightarrow a\mid (b+c)\),
  • \(a\mid b\Rightarrow \forall c\in R,a\mid bc\),
  • 若 \(p,q\in R\) 不可约且 \(p\mid q\) 则 \(q=pu,u\in U(R)\).

Def 2 唯一分解整环 (UFD)

整环 \(R\) 称为唯一分解整环 (UFD) 如果

  • (存在性) 对 \(R\) 中任何非零不可逆元 \(a\), 存在有限个不可约元 \(p_1,\cdots,p_s\in R\ \mathrm{s.t.}\ a=p_1,\cdots,p_s\),
  • (唯一性) 若还存在不可约元 \(q_1,\cdots,q_t\in R\ \mathrm{s.t.}\ a=q_1,\cdots,q_t\) 则 \(s=t\) 且适当调整次序后 \(p_i=u_iq_i,u_i\in U(R)\).

e.g.

\(\mathbb Z\) 是 UFD, \(6=2\times 3=(-2)\times (-3)\).

Def 3 诺特整环 (Noetherian)

整环 \(R\) 称为一个诺特整环 (Noetherian) 如果任何一个理想 \(I\in R\) 都是有限生成的， 即 \(\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in R\ \mathrm{s.t.}\ I=\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}r_ix_i\mid\forall r_i\in R\right\}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)R\).

Def 4 主理想整环 (PID)

如果整环 \(R\) 的任何一个理想 \(I\) 都可由一个元素生成则称 \(R\) 是一个主理想整环 (PID), 即 \(I=(x)R=\left\{rx\mid \forall r\in R\right\}\).

e.g.

\(\mathbb C[x],\mathbb{Q}[x],\mathbb R[x],\mathbb{Z}[x]\) 都是 PID.

Thm 1

设 \(R\) 是 Noetherian 整环, \(a\in R\) 是非零不可逆元, 则 \(a\) 可以表示成有限个不可约元的乘积, 即存在不可约元 \(p_1,\cdots,p_s\in R\ \mathrm{s.t.}\ a=p_1,\cdots,p_s\).

Proof

首先证明 \(a\) 由不可约因子 \(p_1\in R\).

  1. 若 \(a\) 不可约则取 \(p_1=a\);
  2. 否则 \(a\) 可约, 则存在不可逆元 \(a_1,a_1'\in R\ \mathrm{s.t.}\ a_1a_1'=a\);
  3. 若 \(a_1\) 不可约则取 \(p_1=a_1\);
  4. 否则 \(a_1\) 可约, 重复 2, 类似地进行下去.

如果上述操作无限重复则得到无穷多个不可逆元 \(a=a_1a_2\cdots a_i\cdots\), 令 \(I=\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_ia_i\mid x_i\in R, n\in \mathbb N\right\}=(a_1,a_2,\cdots)R\). 由 \(R\) 是 Noetherian 整环故 \(I\) 有限生成, 即 \(\exists b_1,\cdots,b_l\in I\ \mathrm{s.t.}\ I=(b_1,\cdots,b_l)R\). 记 \(n\in\mathbb N,y_{ij}\in R\) 则 \(b_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{ij}a_j\Rightarrow a_n\mid b_i\ (i=1,\cdots,l)\). 则由 \(a_n\) 生成的理想 \((a_n)R\subseteq I\). 而 \(\forall c\in I,c=k_1b_1+\cdots+k_lb_l=a_n(k_1r_1+\cdots+k_rl_r)\Rightarrow (a_n)R\supseteq I\). 综上, \((a_n)R=I\). 由 \(I=(a_1,a_2,\cdots)R\) 故 \(a_{n+1}\in R\Rightarrow a_n\mid a_{n+1}\), 又由构造, \(a_{n+1}\mid a_n\), 故存在 \(a_{n+1}'\in U(R)\ \mathrm{s.t.}\ a_n=a_{n+1}a_{n+1}'\), 这与其不可逆矛盾, 因此 \(a\) 必有一个不可逆因子 \(p_1\in R\), 从而 \(a\) 有分解 \(a=p_1c_1=p_1p_2c_2=\cdots\). 如果无限重复, 令 \(J=(c_1,c_2,\cdots)R\), 类似地得到 \(J=(c_n)R\), 同时有 \(c_n\mid c_{n+1},c_{n+1}\mid c_n\), 故 \(c_n=p_{n+1}c_{n+1},p_{n+1}\in U(R)\) 矛盾. 故 \(a=p_1,\cdots,p_s\).

Def 5

设 \(a,b\in R,d\) 称为 \(a,b\) 的最大公因子. 如果

  • \(d\mid a,d\mid b\),
  • 如果 \(\exists c, c\mid a,c\mid b\) 则 \(c\mid d\).

Def 6

定义 \(x\backsim y\Leftrightarrow\exists u\in U(R)\ \mathrm{s.t.}\ y=ux\) 则 \(\backsim\) 是等价关系.

Pro

如果 \(a,b\in R\) 有最大公因子, 令 \(\gcd(a,b)\) 表示它们的一个最大公因子, 则

  1. \((a,0_R)\backsim a,a\mid b\Leftrightarrow(a,b)\backsim a\),
  2. \((ta,tb)\backsim t(a,b)\),
  3. \(((a,b),c)\backsim(a,(b,c))\).

Def 7

如果 \((a,b)=1\) 即 \((a,b)\) 为可逆元则称 \(a,b\) 互素.

Thm 2

设 \(R\) 为 Noetherian 整环则下述相互等价:

  1. \(R\) 是 UFD,
  2. \(\forall a,b\in R,a,b\) 有最大公因子,
  3. 如果 \(p\in R\) 不可约则 \(p\mid (ab)\Rightarrow p\mid a\) 或 \(p\mid b\).

Proof

1 \(\Rightarrow\) 2: 不妨设 \(a\neq 0_R,b\notin U(R),a=up_1^{m_1}\cdots p_s^{m_s},b=vp_1^{n_1}\cdots p_s^{n_s}\) 分别是 \(a,b\) 的不可约分解, 其中 \(m_i,n_i\geqslant 0,u,v\in U(R)\). 令 \(d=p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s},\ k_i=\min\{m_i,n_i\}\), 则 \(d\mid a,d\mid b\). 设 \(c\in R\ \mathrm{s.t.}\ c\mid a,c\mid b\), 记 \(c=q_1^{l_1}\cdots q_s^{l_s},\ q_i\in R\) 不可约. 不妨记 \(a=cu=q_1^{l_1}\cdots q_s^{l_s}u\), 由 \(R\) 是 UFD 则适当调整次序过后有 \(q_1\backsim p_1,q_2\backsim p_2,\cdots,q_s\backsim p_s\) 且 \(l_i\leqslant k_i\). 则 \(c\mid d\Rightarrow d\) 为最大公因子.

2 \(\Rightarrow\) 3: 如果 \(p\mid a\) 则成立, 否则 \(p\nmid a\) 则 \((p,a)=1_R\Rightarrow (pb,ab)=b\) 即 \(b\) 是 \(pb,ab\) 最大公因子. 由 \(p\mid pb,p\mid ab\Rightarrow p\mid b\).

3 \(\Rightarrow\) 1: 由 \(R\) 是 Noetherian 环, 由 Thm 1 知 \(\forall 0\neq a\notin U(R)\) 有不可约分解, 下证其唯一性. 不妨设 \(a=p_1p_2\cdots p_s=q_1q_2\cdots q_t\), 其中 \(p_i,q_i\) 不可约. 由 \(p_i\mid a\Rightarrow p_i\mid (q_1q_2\cdots q_t)\). 由 3, \(\exists q_j\ \mathrm{s.t.}\ p_i\mid q_j\). 不妨设 \(p_1\mid q_1\), 由 \(q_i\) 不可约则可令 \(q_1=p_1u_1,u_1\in U(R)\) 则有 \(p_1p_2\cdots p_s=(u_1p_1)q_2\cdots q_t\) 即 \(p_2\cdots p_s=u_1q_2\cdots q_t\). 重复上述操作则有 \(q_2=u_2p_2,q_3=u_3p_3,\cdots\). 最终得到 \(1_R=u_1\cdots u_sq_{s+1}\cdots q_t\). 由 \(q_i\) 不可约故 \(q_i\) 不可逆, 故 \(q_{s+1}\cdots q_t\) 不存在 \(\Rightarrow s=t\) 且 适当调整次序后 \(p_i\backsim q_i\).

Cor

Noetherian 整环 \(R\) 是 PID 当且仅当 \(\forall a,b\in R, (a,b)\) 存在且可表示为 \((a,b)=r_1a+r_2b,\ r_i\in R\).

Proof

\(\Rightarrow:\) 设 \(a,b\in R\), 令 \(I=(a,b)R\). 由 \(R\) 为 PID 则存在 \(d\in R\ \mathrm{s.t.}\ I=(d)R\). 故 \(d\mid a,d\mid b\), 故 \(\exists r_1,r_2\in R\ \mathrm{s.t.}\ d=r_1a+r_2b\) (由 \(d\in I=(a,b)R\)). 下证 \(d\) 为最大公因子. 设 \(c\notin U(R)\ \mathrm{s.t.}\ c\mid a\) 且 \(c\mid b\Rightarrow c\mid(r_1a+r_2b)\Rightarrow c\mid d\) 即 \(d\) 是最大公因子.

\(\Leftarrow:\) 任取 \(R\) 的理想 \(I\), 不妨设 \(I\) 非平凡. 设 \(a_1,\cdots,a_n\) 是 \(I\) 的一组最小个数的生成元 (即 \(n\) 最小), \(I=(a_1,\cdots,a_n)R\). 若 \(n>1\), 令 \(d=(a_{n-1},a_n)\) 则 \(\exists r_1,r_2\in R\ \mathrm{s.t.}\ d=r_1a_{n-1}+r_2a_n\). 同时 \(\exists b_i\ \mathrm{s.t.}\ a_n=b_nd,a_{n-1}=b_{n-1}d\). 则 \((a_1,\cdots,a_n)R=(a_1,\cdots,a_n,d)R=I\supseteq (a_1,\cdots,a_{n-2},d)R\). \(\forall x\in (a_1,\cdots,a_n)R,\exists x_i\in R \ \mathrm{s.t.}\ x=x_1a_1+\cdots+x_na_n=x_1a_1+\cdots+x_{n-2}a_{n-2}+(x_{n-1}b_{n-1}+x_nb_n)d\in (a_1,\cdots,a_{n-2},d)R\) 故 \((a_1,\cdots,a_n)R\subseteq (a_1,\cdots,a_{n-2},d)R\) 即 \(I=(a_1,\cdots,a_n)R=(a_1,\cdots,a_{n-2},d)R\), 这与 \(n\) 的最小性矛盾. 故 \(n=1\) 即 \(R\) 为 PID.

Remark

PID 是 UFD.

Def 8 欧几里得环 (ED)

设 \(R\) 是一个整环, 令 \(R^*=R\setminus\{0\}, \mathbb Z_+=\left\{n\in \mathbb Z\mid n>0\right\}\). 若存在映射 \(\delta:R^*\rightarrow\mathbb Z_+\ \mathrm{s.t.}\ \forall a,b\in R, b\neq 0,\exists q,r\in R\ \mathrm{s.t.}\ a=bq+r, r=0\) 或 \(\delta(r)<\delta(b)\) 则称 \(R\) 为欧几里得 (Euclid) 环 (ED).

Thm 3

ED 是 PID.

Proof

设 \(I\subseteq R\) 是一个非平凡理想. 令 \(0\neq b\in I\ \mathrm{s.t.}\ \delta(b)=\min\{\delta(x)\mid x\neq 0\in I\}\). \(\forall a\in I,\exists q,r\in R\ \mathrm{s.t.}\ a=bq+r, r=0\) 或 \(\delta(r)<\delta(b)\). 由 \(\delta(b)\) 的最小性得 \(r\equiv 0\) 即 \(a=bq\in I\), \(a\in(b)R\Rightarrow I=(b)R\).

e.g.

  1. \(\mathbb Z\) 是 ED, \(\delta: n\mapsto n\),
  2. \(K\) 为域, \(K[x]\) 是 ED, \(\delta:f(x)\mapsto \deg f(x)\),
  3. Gauss 整环是 ED, \(\mathbb Z[\sqrt{-1}]=\mathbb Z[i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb Z\}\), \(\delta: a+bi\mapsto a^2+b^2\).

\(\forall \alpha,\beta\in \mathbb Z[i],\beta\neq 0\). 令 \(\alpha\beta^{-1}=u+vi\in\mathbb Q[i]\). 则 \(\exists a,b\in\mathbb Z\ \mathrm{s.t.}\ \vert a-u\vert\leqslant\dfrac{1}{2},\vert b-v\vert\leqslant\dfrac{1}{2}\). 令 \(q=a+bi\) 则 \(\alpha=\beta(u+vi)=\beta(a+bi)+\beta[(u-a)+(v-b)i]=\beta q+\beta[(u-a)+(v-b)i]\), 令 \(\beta[(u-a)+(v-b)i]=r\) 则原式变为 \(\alpha=\beta q+r,r\in \mathbb Z[i]\). 若 \(r\neq 0\) 则 \(\delta(r)=\delta(\beta)\delta((u-a)+(v-b)i)\leqslant\delta(\beta)(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})<\delta(\beta)\), 即 \(\mathbb Z[i]\) 是 ED.

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